Zaujímavý

Čo je podmienená pravdepodobnosť?

Čo je podmienená pravdepodobnosť?

Jednoduchý príklad podmienená pravdepodobnosť je pravdepodobnosť, že karta vytiahnutá zo štandardného balíčka kariet je kráľom. Z 52 kariet sú celkom štyria králi, takže pravdepodobnosť je jednoducho 4/52. S týmto výpočtom súvisí nasledujúca otázka: „Aká je pravdepodobnosť, že nakreslíme kráľa vzhľadom na to, že sme už z karty vybrali kartu a je to eso?“ Tu zvažujeme obsah balíčka kariet. Stále sú tu štyria králi, ale teraz je v balíčku iba 51 kariet. Pravdepodobnosť vylosovania kráľa vzhľadom na to, že eso už bolo nakreslené, je 4/51.

Podmienená pravdepodobnosť je definovaná ako pravdepodobnosť udalosti vzhľadom na výskyt inej udalosti. Ak pomenujeme tieto udalosti a B, potom môžeme hovoriť o pravdepodobnosti daný B, Mohli by sme sa tiež zmieniť o pravdepodobnosti záleží od B.

Symboly

Zápis o podmienenej pravdepodobnosti sa líši od učebnice k učebnici. Vo všetkých notáciách naznačuje, že pravdepodobnosť, o ktorej hovoríme, závisí od inej udalosti. Jeden z najbežnejších zápisov pravdepodobnosti daný B je P (A | B), Iný zápis, ktorý sa používa, je PB(A).

Vzorec

Existuje vzorec pre podmienenú pravdepodobnosť, ktorý ju spája s pravdepodobnosťou a B:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)

Tento vzorec v podstate hovorí, že na výpočet podmienenej pravdepodobnosti udalosti vzhľadom na udalosť B, náš vzorový priestor zmeníme tak, aby pozostával iba z množiny B, Pritom neuvažujeme o všetkých udalostiach , ale iba časť to je tiež obsiahnuté v B, Súbor, ktorý sme práve opísali, je možné známym spôsobom označiť ako priesečník a B.

Pomocou algebry môžeme vyššie uvedený vzorec vyjadriť iným spôsobom:

P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)

Príklad

Na základe týchto informácií sa vrátime k príkladu, ktorý sme začali. Chceme poznať pravdepodobnosť kreslenia kráľa vzhľadom na to, že eso už bolo nakreslené. Takže udalosť je to, že kreslíme kráľa. udalosť B je to, že kreslíme eso.

Pravdepodobnosť, že dôjde k obidvom udalostiam a nakreslíme eso a potom kráľ, zodpovedá P (A ∩ B). Hodnota tejto pravdepodobnosti je 12/2652. Pravdepodobnosť udalosti B, že kreslíme eso je 4/52. Preto používame vzorec podmienenej pravdepodobnosti a vidíme, že pravdepodobnosť nakreslenia kráľa, ako bolo eso, bola (16/2652) / (4/52) = 4/51.

Ďalší príklad

Ako ďalší príklad sa pozrieme na experiment pravdepodobnosti, v ktorom hodíme dvoma kockami. Otázka, ktorú by sme si mohli položiť, je: „Aká je pravdepodobnosť, že sme hodili tri, vzhľadom na to, že sme hodili sumu menšiu ako šesť?“

Tu je udalosť je to, že sme vyhrali trojku a túto udalosť B je to, že sme zahodili sumu menšiu ako šesť. Existuje celkom 36 spôsobov, ako hodiť dvoma kockami. Z týchto 36 spôsobov môžeme hodiť sumu menšiu ako šesť z desiatich spôsobov:

  • 1 + 1 = 2
  • 1 + 2 = 3
  • 1 + 3 = 4
  • 1 + 4 = 5
  • 2 + 1 = 3
  • 2 + 2 = 4
  • 2 + 3 = 5
  • 3 + 1 = 4
  • 3 + 2 = 5
  • 4 + 1 = 5

Nezávislé udalosti

Existujú prípady, keď je podmienená pravdepodobnosť vzhľadom na udalosť B sa rovná pravdepodobnosti , V tejto situácii hovoríme, že udalosti a B sú na sebe nezávislé. Vyššie uvedený vzorec sa stáva:

P (A | B) = P (A) = P (A = B) / P (B),

a získame vzorec, ktorý v prípade nezávislých udalostí pravdepodobnosť oboch a B sa zistí vynásobením pravdepodobností každej z týchto udalostí:

P (A ∩ B) = P (B) P (A)

Ak sú dve udalosti nezávislé, znamená to, že jedna udalosť nemá vplyv na druhú. Prehodiť jednu mincu a potom druhú je príkladom nezávislých udalostí. Jedna minca nemá žiadny vplyv na druhú.

Upozornenie

Buďte veľmi opatrní pri identifikácii, ktorá udalosť závisí od druhej. Všeobecne P (A | B) sa nerovná P (B | A), To je pravdepodobnosť vzhľadom na udalosť B nie je to isté ako pravdepodobnosť B vzhľadom na udalosť .

Vo vyššie uvedenom príklade sme videli, že pri hodení dvoma kockami bola pravdepodobnosť hodenia tri, vzhľadom na to, že sme hodili súčet menší ako šesť, 4/10. Na druhej strane, aká je pravdepodobnosť rozmiestnenia sumy menšej ako šesť vzhľadom na to, že sme hodili tri? Pravdepodobnosť rozmiestnenia troch a súčtov menších ako šesť je 4/36. Pravdepodobnosť rozmiestnenia najmenej jednej trojky je 11/36. Podmienená pravdepodobnosť je v tomto prípade (4/36) / (11/36) = 4/11.