Zaujímavý

Medián exponenciálnej distribúcie

Medián exponenciálnej distribúcie

Medián súboru údajov je stredný bod, v ktorom je presne polovica hodnôt údajov menšia alebo rovná mediánu. Podobne môžeme uvažovať o mediáne plynulého rozdelenia pravdepodobnosti, ale namiesto nájdenia strednej hodnoty v súbore údajov nájdeme stred distribúcie iným spôsobom.

Celková plocha pod funkciou hustoty pravdepodobnosti je 1, čo predstavuje 100%, a preto môže byť polovica z tohto zastúpená polovicou alebo 50 percentami. Jednou z veľkých myšlienok matematickej štatistiky je, že pravdepodobnosť je reprezentovaná oblasťou pod krivkou denzitnej funkcie, ktorá je vypočítaná integrálom, a teda stredná hodnota súvislého rozdelenia je bodom na skutočnej číslici, kde presne polovica oblasť leží vľavo.

Toto možno stručne uviesť pomocou nasledujúceho nesprávneho integrálu. Medián spojitej náhodnej premennej X s funkciou hustoty F( X) je hodnota M tak, že:

0,5 = ∫m-∞f (x) = dx0.5 int_ {m} ^ {- infty} f (x) = dx0.5 ∫m-∞ f (x) dx

Medián pre exponenciálnu distribúciu

Teraz vypočítame strednú hodnotu pre exponenciálne rozdelenie Exp (A). Náhodná premenná s týmto rozdelením má funkciu hustoty F(X) = e-X/ A/ A pre X akékoľvek nezáporné reálne číslo. Funkcia obsahuje aj matematickú konštantu e, približne rovná 2,71828.

Pretože funkcia hustoty pravdepodobnosti je pre každú zápornú hodnotu nula X, všetko, čo musíme urobiť, je integrovať nasledujúce a vyriešiť M:

0,5 = -0MM (x) dx

Od integrálu ∫ e-X/ A/ A dX = -e-X/ A, výsledkom je to

0,5 = -e-M / A + l

To znamená, že 0,5 = e-M / A a po vzatí prirodzeného logaritmu oboch strán rovnice máme:

ln (1/2) = -M / A

Pretože 1/2 = 2-1, podľa vlastností logaritmov píšeme:

- ln2 = -M / A

Vynásobením oboch strán koeficientom A sa získa výsledok, že stredná hodnota M = A ln2.

Stredná nerovnováha v štatistike

Je potrebné uviesť jeden dôsledok tohto výsledku: stredná hodnota exponenciálneho rozdelenia Exp (A) je A a keďže ln2 je menej ako 1, vyplýva z toho, že produkt Aln2 je menší ako A. To znamená, že medián exponenciálneho rozdelenia je menej ako priemer.

To má zmysel, ak uvažujeme o grafe funkcie hustoty pravdepodobnosti. Z dôvodu dlhého chvosta je toto rozdelenie naklonené doprava. Mnohokrát, keď je distribúcia zošikmená doprava, stredná hodnota je napravo od mediánu.

Čo to znamená z hľadiska štatistickej analýzy je to, že môžeme často predpovedať, že stredný priemer a medián priamo nekorelujú vzhľadom na pravdepodobnosť, že údaje sú zošikmené doprava, čo možno vyjadriť ako stredný priemerný dôkaz nerovnosti známy ako Chebyševova nerovnosť.

Ako príklad uvážte množinu údajov, ktorá predpokladá, že osoba dostane celkom 30 návštevníkov za 10 hodín, pričom priemerná doba čakania na návštevníka je 20 minút, zatiaľ čo skupina údajov môže predstavovať, že stredná doba čakania by bola niekde medzi 20 a 30 minútami, ak viac ako polovica týchto návštevníkov prišla počas prvých piatich hodín.